1) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής στο [0,1] και παραγωγίσιμη στο (0,1). Να αποδείξετε, ότι η εξίσωση f(1)-f(0) = f'(x)/2x, έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο(0,1).
2) Έστω μια συνεχής συνάρτηση f, με τύπο f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3). Να δείξετε ότι η εξίσωση f'(x)=0 έχει τρεις ακριβώς πραγματικές ρίζες.
3) Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [α,β] με την ιδιότητα: f(α)-f(β) = ημα-ημβ. Δείξτε ότι υπάρχει ξ στο (α,β), τέτοιος ώστε: f'(ξ) = συνξ.
4) Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο [0,1], με: f(x)g(x) διαφορο του μηδενός, για κάθε x στο (0,1) και f(0) = g(1) = 0, δείξτε ότι η εξίσωση: f'(x)/f(x) + g'(x)/g(x) = 0, έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο (0,1).
5) Να προσδιοριστεί συνάρτηση f τέτοια ώστε f(0) =1, f(π/2) = π και για κάθε x, ισχύει: f''(x) =ημx.
6) Να βρείτε την συνάρτηση f, όταν: i) f'(x) = x(2συνx-xημx) και f(π)=0, ii) f'(x)=(2x-1)lnx+x-1, x>0 και f(1)=-1.
7) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση g για την οποία ισχύουν: g'(x)=2x και g(1)=-1.